《张朝阳的物理课》介绍量子力学(3)

如果现实世界的物理是经典物理，或许我们现在的物质结构将无法形成。正因为量子力学原理的限制，原子才不会发生坍塌。同时，量子力学还保证了原子的同一性。宇宙在38万岁的时候产生的氢原子与今天的氢原子是一样的(假设都处于基态)。这种性质是经典物理无法提供的。

将其代入薛定谔方程，有

对于黑体辐射，利用经典电磁理论得到的黑体辐射谱为

受普朗克的启发，爱因斯坦进一步假设光是一种粒子，并以此解释光电效应。光电效应指的是光照射到金属上“打”出了电子，并形成电流。根据经典理论，光电效应的出现是由于电磁波的电场部分使电子在金属中运动并逃逸出来。由此，即使光的频率比较低，只要光足够强，就可以出现光电效应。然而实验表明，存在一个截止频率，当电磁波的频率低于截止频率时，无论光强多大，都无法产生光电流。而爱因斯坦利用光子的概念成功地解释了光电效应。

本次线下课，张朝阳开门见山地先介绍起了量子力学。张朝阳介绍，量子力学对宇宙中物质结构的形成意义非凡。根据经典物理，电子绕着原子核旋转，就像太阳系中行星绕着地球旋转一样；由于电子带有电荷，它做圆周运动时具有加速度，从而会辐射电磁波，导致原子的总能量不断降低，电子最终会坠入原子核。但是现实中的原子是稳定的，这与经典物理的预言相差很大。要对这一切作出解释，就必须要用到量子力学。在量子力学里，位置和动量是不能同时精确测量的，这就是不确定性原理。位置和动量的不确定度满足

满足

对于双原子分子气体，它有3个平动自由度，2个转动自由度，以及2个振动自由度，根据能量均分原理，单个分子的平均能量应该等于7kT/2，于是双原子分子气体的绝热指数为9/7。但是在室温下，双原子分子气体绝热指数的实验值约为1.4，经典理论值与实验值存在明显偏离。若考虑量子效应，双原子分子的固有频率很高，而谐振子能级间隔正比于固有频率，从而室温下振动自由度没有被激发，此时能量均分原理不适用于振动自由度。考虑这一点之后，双原子分子的平均能量为5kT/2，由此可以得到绝热指数为7/5=1.4，与实验值相符。

爱因斯坦假设的光子能量与普朗克假设的黑体辐射单份能量一致。假设光子(动)质量为m，由狭义相对论，光子能量为E=mc^2，动量p=mc，那么动量可以改写为

这组本征矢构成一组正交基，因此任何一个波函数都可以借助这组本征矢进行展开：

经典波动方程的其中一部分解可以写为f(x-vt)，对比上式的形式，可以知道光速c=ω/k。因此，光子的动量还可以改写为

为了理解上式的含义，可以将ψ(x)在动量本征矢下的展开式代入，有

回忆前面介绍的统计诠释，它可以拓展到沿任意一组本征矢的展开式上，其中展开系数的模方就表示系统在测量后处于相应本征态的概率(密度)。比如

这样一组基被称为单位正交基。在这组单位正交基下，把位置矢量记为

将动量算符的表达式代入，可以得到

于是，光波中的指数部分可以进行如下改写：

可见氢原子波函数是满足不确定性原理的。

既然认为所有粒子都是一种波，那么就需要一个描述其演化的波动方程。张朝阳给现场的听众和线上的网友们介绍了薛定谔猜测波动方程的思路。首先，自由粒子的波函数满足

薛定谔方程是一个齐次线性方程，因此对于满足该方程的两个或多个解，相应的线性叠加依然是该方程的解。所以，波函数构成一个线性空间。进而，在波函数空间上可以定义内积，并且由这个内积诱导的度量是个完备度量。根据数学上对希尔伯特空间的定义：完备的内积空间被称为希尔伯特空间。因此，波函数空间是希尔伯特空间。

假如本征矢已经归一化，那么

于是，有

当势能不随时间改变时，可以借助分离变量法去掉波函数对时间的依赖。假设波函数的空间部分和时间部分可以分离：

此外，中国科学院物理研究所副研究员李治林作为特邀嘉宾，与张朝阳一起和听众们进行了互动交流。“如果使用很大的力挤压氢原子会发生什么？”李老师对这个问题进行了解答。在量子力学里，比“力”更方便的是“势”及其梯度的概念，因此，所谓用很大的力挤压氢原子，可以等效描述为逐渐变窄的、陡峭的势阱对氢原子的约束。考虑无限深势阱，当势阱宽度逐渐变窄时，氢原子的动量不确定度越来越高，能量也越来越高。如果是一维无限深势阱，那么氢原子还会从其他方向逃逸出来。如果是三维无限深势阱，随着“挤压”过程的继续，在最极端的情况下，甚至氢原子自身也会发生改变，其中的质子和电子会通过弱相互作用形成一个中子并释放出一个中微子。这与中子星的形成机制是类似的。

文章来源：《力学季刊》 网址: http://www.lxjkzz.cn/zonghexinwen/2022/0512/944.html