《张朝阳的物理课》介绍量子力学(2)

为了简单起见，这里只处理一维情况。上述波函数对时间和位置求导，有

它作用在前述波函数上会得到对应动量与波函数的乘积。考虑非相对论的情况，且暂时不考虑势能，质量为m的粒子的能量为

希尔伯特空间 算符与平均值

于是f(t)满足

说回光子，在宏观下它表现为电磁波，其电场分量可以描述为

于是

就表示测量动量后，与得到的动量值相对应的概率密度。因此，前面使用的动量均值公式是合理的。

薛定谔方程的提出 波函数的物理意义

这样得到的黑体辐射谱为

这些数学概念都太抽象了，因此张朝阳以简单的三维空间为例来说明波函数空间的性质。在三维空间中，任何矢量都可以在直角坐标系的基矢下展开，比如位置矢量：

现场互动答疑解惑 共同探讨物理问题

这个算符对应经典力学的哈密顿量，因此又被称为哈密顿算符。考虑了势能之后，薛定谔方程为

这就是一维自由粒子的薛定谔方程。

所以

在其后的互动环节中，张朝阳还与现场听众探讨了各种物理问题。比如“在低能级的时候，系统的能量是离散的，但是能量高的时候，系统的能量表现为连续的，这是为什么呢？”为了解答这个问题，张朝阳以氢原子能级举例说明。氢原子的能量正比于-1/n^2，当氢原子处于低能级的时候，n很小，能量表现为离散的。当氢原子处于高能级时，n很大，虽然这时能量依然是离散的，但是能级之间的间隔趋于无穷小，因此能量表现为连续的。

观察上式，可以定义动量算符，形式如下：

虽然这个公式是在光子的基础上推导出来的，但是我们可以合理地假设它也适用于一般的自由粒子的德布罗意波。

张朝阳介绍说，他在这里讲的量子力学是波动力学。在量子力学诞生初期，有两种形式的理论被提出来，一种是波动力学形式，另一种是矩阵力学形式，不过后来这两种形式被证明是等价的。

其中δ_{ij}被定义为

接着，张朝阳介绍了“能量阶梯”的相关知识。不同类型的物理过程对应的特征能量标度存在数量级上的差异。比如化学变化所对应的能量标度为几个电子伏特，而核反应对应的能量标度可达兆电子伏特。能量标度的不同决定了各温度下的主要物理过程。比如室温下能发生的过程主要是化学过程，而要发生核聚变则需要达到百万开尔文的温度(注：原子核衰变是一个自发过程，即使在低温下也能发生)。正因为能量阶梯的存在，宇宙在大爆炸之后不断膨胀，温度不断降低，从而从高到低经历各个能量标度，这就决定了宇宙的物质形成是分阶段的。直到宇宙诞生38万年后，质子才捕获电子形成了原子。

经典物理的危机 波粒二象性

动量算符在一个具体的态ψ(x)下的均值为

上式左边只和t有关，右边只和x有关，因此等式两边只能是个常数，设它为常数E：

它在红外端(低频部分)与实验结果接近，但在紫外端(高频部分)是发散的，与实验不符。经典黑体辐射的紫外发散被称为“紫外灾难”。为了解决“紫外灾难”，普朗克假设黑体辐射的能量是一份一份的，且每一份的能量为

为什么需要量子力学？薛定谔方程是怎么提出来的？5月6日，《张朝阳的物理课》线下第三课开讲，搜狐创始人、董事局主席兼CEO张朝阳从能量阶梯讲到经典物理的危机，说明了量子力学的必要性，然后介绍薛定谔方程是怎么被猜出来的，并从原始薛定谔方程推导出定态薛定谔方程，继而介绍希尔伯特空间、正交基展开等一系列与量子力学有关的概念。此外，中国科学院物理研究所副研究员、物理所科学传播协会骨干成员李治林，中国科学院物理研究所博士研究生白睿作为特邀嘉宾来到课堂，与物理爱好者们进行了深入的互动交流。

文章来源：《力学季刊》 网址: http://www.lxjkzz.cn/zonghexinwen/2022/0512/944.html