最新目录

如何确定圆桶中旋转水面的形状?牛顿力学在加

来源:力学季刊 【在线投稿】 栏目:综合新闻 时间:2021-06-10
作者:网站采编
关键词:
摘要:在这篇文章中,我将试着求出半满的以恒定角速度旋转的水桶内自由水面的形状。因为我要研究的是运动速度比光速小得多的系统,所以可以忽略相对论效应。推导基于牛顿运动定律。

在这篇文章中,我将试着求出半满的以恒定角速度旋转的水桶内自由水面的形状。因为我要研究的是运动速度比光速小得多的系统,所以可以忽略相对论效应。推导基于牛顿运动定律。

《原理》于1687年首次出版,随后在1713年和1726年出版了两个改进版。美国版出版于1846年。第83页包含了“牛顿运动定律”的陈述,如下图所示。这篇文章是基于《牛顿力学原理(包括非线性动力学)》一书。

  • 图1:《原理》扉页和第83页“牛顿运动定律”。

加速参考系中的运动学

一个在惯性坐标系I中任意运动的物体的运动方程是什么?用运动坐标系S中的坐标表示。

我们的第一个目标是找到在运动坐标系S中表示的牛顿第二定律。注意,S的任何运动都可以通过I的原点的平移和S绕其原点的轴的旋转的组合得到。

  • 图2:坐标系S,相对于惯性系I任意移动。

我们首先设R为质量为m的物体相对于I的位置,r为物体相对于S的位置。要找到S坐标下的牛顿第二运动定律,我们首先需要得到I和“S的加速度”之间的关系。

m在惯性坐标系下测量的速度和加速度矢量为:

  • 式1:m在惯性坐标系I中测量的速度和加速度矢量。

m在运动坐标系中测量的速度和加速度矢量为:

  • 式2:在运动坐标系S中测量的速度和加速度矢量。

注意,因为我们用的是牛顿力学,时间的度量不会从I变到S。

如图2所示,物体在I中的位置可以写成:

  • 式3:物体在坐标系I中的位置。

对式3微分两次,经过代数运算,得到如下表达式:

  • 式4:相对于S的总加速度的分解。

式中,a为物体对S的加速度,右边的三项分别为:

  • I和S之间的相对加速度。
  • 物体相对于惯性系I的加速度,如果物体在S中的瞬时位置(x, y, z)处于静止状态(这就是所谓的共动加速度)。
  • 科里奥利加速度(科氏加速度)。
  • 图3:在惯性参照系中(上),黑球呈直线运动。然而,由于科氏加速度和离心力存在于旋转参照系中(下),观察者(红点)看到的是一个弯曲的路径。

a的三个组成部分有以下形式:

  • 式5:式4中三项的表达式。

我们可以用ω和dω/dt重新写出式5的第二和第三行,其中ω是坐标系S的角速度:

  • 式6:用角速度和时间导数表示的共动加速度和科氏加速度。
  • 图4:离心力和科氏力在S坐标系中的方向。

加速度的第二项可以写成:

  • 式7:离心加速度。

加速参考系中的动力学

我们现在将牛顿第二定律表示为参照系S中的观察者所看到的。我们假设作用在物体上的力在两个参照系中是相同的。因此:

它给出了S中的牛顿第二定律:

  • 式8:从S观察到的物体的运动方程(牛顿第二定律)。

为了使牛顿第二定律在S中成立,我们把式8右边的后四项解释为虚拟的力。

旋转桶

我们现在考虑一个装一半水的桶,以角速度ω绕其对称轴旋转(水会慢慢跟着转动)。为了求出水面的形状,我们按以下步骤进行。



上一篇:金刺猬大学生戏剧节孵化剧目北京首演,助力学
下一篇:玻璃胶/硅酮结构密封胶力学试验 资料总结

力学季刊投稿 | 力学季刊编辑部| 力学季刊版面费 | 力学季刊论文发表 | 力学季刊最新目录
Copyright © 2019 《力学季刊》杂志社 版权所有
投稿电话: 投稿邮箱: